Algebra lineare Esempi

$[\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$

Passaggio 1

Imposta la formula per trovare l'equazione caratteristica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Passaggio 2

La matrice identità o matrice unità della dimensione $4$ è la matrice quadrata $4 \times 4$ con gli uno sulla diagonale principale e gli zero altrove.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Passaggio 3

Sostituisci i valori noti in $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $A$ per $[\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ I_{4})$

Passaggio 3.2

Sostituisci $I_{4}$ per $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $- λ$ per ogni elemento della matrice.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2

Semplifica ogni elemento nella matrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.2.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.3.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.4.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.4.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.5.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.5.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.7.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.7.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.8.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.8.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.9.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.9.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.10.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.10.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.11

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.12.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.12.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.13.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.13.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.14.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.14.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15

Moltiplica $- λ \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.15.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.15.2

Moltiplica $0$ per $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Passaggio 4.1.2.16

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 4 & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Passaggio 4.2

Aggiungi gli elementi corrispondenti.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 + 0 & 7 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3

Simplify each element.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Somma $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 + 0 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.2

Somma $7$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 + 0 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.3

Somma $2$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 + 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.4

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 + 0 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.5

Somma $- 1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.6

Somma $5$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.7

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 + 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.8

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 + 0 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.9

Somma $3$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.10

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.11

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 + 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 4.3.12

Somma $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 4 - λ & 1 & 7 & 2 \\ 0 & 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 4 - λ \end{array}]$

Passaggio 5

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.1.9

The minor for $a_{41}$ is the determinant with row $4$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.10

Multiply element $a_{41}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0 | \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.4

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} 1 & 7 & 2 \\ 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) | \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5

Calcola $| \begin{array}{c} 3 - λ & - 1 & 5 \\ 0 & 8 - λ & 3 \\ 0 & 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in column $1$ by its cofactor and add.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.5

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.6

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.7

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.8

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$

Passaggio 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $0$ per $| \begin{array}{c} - 1 & 5 \\ 8 - λ & 3 \end{array} |$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) | \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} | + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4

Calcola $| \begin{array}{c} 8 - λ & 3 \\ 0 & 4 - λ \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) ((8 - λ) (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1

Espandi $(8 - λ) (4 - λ)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 (4 - λ) - λ (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 \cdot 4 + 8 (- λ) - λ (4 - λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (8 \cdot 4 + 8 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.1

Moltiplica $8$ per $4$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 + 8 (- λ) - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - λ \cdot 4 - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - λ (- λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ + 1 λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.1.7

Moltiplica $λ^{2}$ per $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 8 λ - 4 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.2.2

Sottrai $4 λ$ da $- 8 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2} + 0 \cdot 3) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.1.3

Moltiplica $0$ per $3$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2} + 0) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.2

Somma $32 - 12 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (32 - 12 λ + λ^{2}) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.3

Sposta $32$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (- 12 λ + λ^{2} + 32) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.4.2.4

Riordina $- 12 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0 + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Combina i termini opposti in $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1.1

Somma $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ e $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32) + 0) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.1.2

Somma $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ e $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.2

Espandi $(3 - λ) (λ^{2} - 12 λ + 32)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 12 λ) + 3 \cdot 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.1

Moltiplica $- 12$ per $3$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 3 \cdot 32 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.2

Moltiplica $3$ per $32$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.3.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - (λ^{2} λ) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.3.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{2 + 1} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.3.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - λ (- 12 λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ \cdot λ - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.5

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.3.5.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 (λ \cdot λ) - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.5.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 1 \cdot - 12 λ^{2} - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.6

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} + 12 λ^{2} - λ \cdot 32) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.3.7

Moltiplica $32$ per $- 1$ .

$p (λ) = (4 - λ) (3 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} + 12 λ^{2} - 32 λ) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.4

Somma $3 λ^{2}$ e $12 λ^{2}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 36 λ + 96 - λ^{3} - 32 λ) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.5

Sottrai $32 λ$ da $- 36 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 68 λ + 96 - λ^{3}) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.6

Sposta $96$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - 68 λ - λ^{3} + 96) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.7

Sposta $- 68 λ$ .

$p (λ) = (4 - λ) (15 λ^{2} - λ^{3} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.5.5.8

Riordina $15 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$

Passaggio 5.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Combina i termini opposti in $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0 + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Somma $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ e $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0 + 0$

Passaggio 5.6.1.2

Somma $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ e $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96) + 0$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ e $0$ .

$p (λ) = (4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$

Passaggio 5.6.2

Espandi $(4 - λ) (- λ^{3} + 15 λ^{2} - 68 λ + 96)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$p (λ) = 4 (- λ^{3}) + 4 (15 λ^{2}) + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 4 (15 λ^{2}) + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.2

Moltiplica $15$ per $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} + 4 (- 68 λ) + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.3

Moltiplica $- 68$ per $4$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 4 \cdot 96 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.4

Moltiplica $4$ per $96$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - λ (- λ^{3}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.6

Moltiplica $λ$ per $λ^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.1

Sposta $λ^{3}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.6.2

Moltiplica $λ^{3}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.6.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.6.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.7

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + 1 λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.8

Moltiplica $λ^{4}$ per $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - λ (15 λ^{2}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.9

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ \cdot λ^{2} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.10

Moltiplica $λ$ per $λ^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.1

Sposta $λ^{2}$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 (λ^{2} λ) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.10.2

Moltiplica $λ^{2}$ per $λ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.10.2.1

Eleva $λ$ alla potenza di $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.10.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ^{2 + 1} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.10.3

Somma $2$ e $1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 1 \cdot 15 λ^{3} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.11

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - λ (- 68 λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.12

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 λ \cdot λ - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.13

Moltiplica $λ$ per $λ$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.3.13.1

Sposta $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 (λ \cdot λ) - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.13.2

Moltiplica $λ$ per $λ$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} - 1 \cdot - 68 λ^{2} - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 68$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} + 68 λ^{2} - λ \cdot 96$

Passaggio 5.6.3.15

Moltiplica $96$ per $- 1$ .

$p (λ) = - 4 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 15 λ^{3} + 68 λ^{2} - 96 λ$

Passaggio 5.6.4

Sottrai $15 λ^{3}$ da $- 4 λ^{3}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 60 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} + 68 λ^{2} - 96 λ$

Passaggio 5.6.5

Somma $60 λ^{2}$ e $68 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 272 λ + 384 + λ^{4} - 96 λ$

Passaggio 5.6.6

Sottrai $96 λ$ da $- 272 λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384 + λ^{4}$

Passaggio 5.6.7

Sposta $384$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + λ^{4} + 384$

Passaggio 5.6.8

Sposta $- 368 λ$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} + λ^{4} - 368 λ + 384$

Passaggio 5.6.9

Sposta $128 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 19 λ^{3} + λ^{4} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384$

Passaggio 5.6.10

Riordina $- 19 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 19 λ^{3} + 128 λ^{2} - 368 λ + 384$